Radiciação

0 Flares Twitter 0 Facebook 0 Google+ 0 Reddit 0 StumbleUpon 0 Pin It Share 0 LinkedIn 0 Email -- Buffer 0 0 Flares ×

A radiciação é a operação que usamos para encontrar um número que, multiplicado por ele mesmo um determinado número de vezes, é igual a um valor conhecido.

Confira abaixo alguns exercícios resolvidos e comentados sobre essa operação matemática.


Questão 1 (IFSC 2018) Analise as afirmações seguintes:

I. −52 − √16 ∙ (−10) ÷ (√5)2 = −17
II. 35 ÷ (3 + √81 −23 + 1) × 2 = 10
III. Efetuando-se (3 + √5)(3 − √5), obtém-se um número múltiplo de 2.

Assinale a alternativa CORRETA.

a) Todas são verdadeiras.
b) Apenas I e III são verdadeiras.
c) Todas são falsas.
d) Apenas uma das afirmações é verdadeira.
e) Apenas II e III são verdadeiras.

Resolução

Vamos resolver cada uma das expressões para verificar quais são verdadeiras.

I. Temos uma expressão numérica envolvendo várias operações. Neste tipo de expressão, é importante lembrar que existe uma prioridade para efetuar os cálculos.

Assim, devemos começar com a radiciação e potenciação, depois a multiplicação e divisão e, por último, a soma e subtração.

Outra observação importante é com relação ao – 52. Se houvesse parênteses, o resultado seria +25, mas sem os parênteses o sinal de menos é da expressão e não do número.

menos 5 ao quadrado menos raiz quadrada de 16. abre parênteses menos 10 fecha parênteses dividido por abre parênteses raiz quadrada de 5 fecha parênteses ao quadrado igual a menos 25 menos 4. parêntese esquerdo menos 10 parêntese direito dividido por 5 igual a menos 25 mais 40 dividido por 5 igual a menos 25 mais 8 igual a menos 17

Portanto, a afirmação é verdadeira.

II. Para resolver essa expressão, iremos considerar as mesmas observações feitas no item anterior, adicionando que resolvemos primeiro as operações dentro dos parênteses.

35 dividido por abre parênteses 3 mais raiz quadrada de 81 menos 2 ao cubo mais 1 fecha parênteses sinal de multiplicação 2 igual a 35 dividido por abre parênteses 3 mais 9 menos 8 mais 1 fecha parênteses x 2 igual a 35 dividido por 5 sinal de multiplicação 2 igual a 7 sinal de multiplicação 2 igual a 14

Neste caso, a afirmação é falsa.

III. Podemos resolver a expressão utilizando a propriedade distributiva da multiplicação ou o produto notável da soma pela diferença de dois termos.

Assim, temos:

abre parênteses 3 mais raiz quadrada de 5 fecha parênteses. abre parênteses 3 menos raiz quadrada de 5 fecha parênteses igual a 3 ao quadrado menos abre parênteses raiz quadrada de 5 fecha parênteses ao quadrado igual a 9 menos 5 igual a 4

Como o número 4 é um múltiplo de 2, essa afirmação também é verdadeira.

Gabarito: Alternativa: b) Apenas I e III são verdadeiras.


a) 3 raiz quadrada de 3
b) raiz quadrada de 3
c) 3
d) 0

Resolução

Vamos começar a questão simplificando a raiz da primeira equação. Para isso, passaremos o 9 para a forma de potência e dividiremos o índice e o radicando da raiz por 2:

quarta raiz de 9 igual a índice radical 4 dividido por 2 de 3 à potência de 2 dividido por 2 fim do exponencial fim da raiz igual a quadrada raiz de 3

Considerando as equações, temos:

x mais y mais z igual a raiz quadrada de 3 seta dupla para a direita x mais y igual a raiz quadrada de 3 menos z x mais y menos z igual a raiz quadrada de 3 seta dupla para a direita x mais y igual a raiz quadrada de 3 mais z

Como as duas expressões, antes do sinal de igual, são iguais, concluímos que:

raiz quadrada de 3 menos z igual a raiz quadrada de 3 mais z

Resolvendo essa equação, encontraremos o valor do z:

z mais z igual a raiz quadrada de 3 menos raiz quadrada de 3 2 z igual a 0 z igual a 0

Substituindo esse valor na primeira equação:

x mais y mais 0 igual a raiz quadrada de 3 x mais y igual a raiz quadrada de 3

Antes de substituir esses valores na expressão proposta, vamos simplificá-la. Note que:

x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

Assim, temos:

parêntese esquerdo x mais y parêntese direito ao quadrado menos z ao quadrado igual a parêntese esquerdo raiz quadrada de 3 parêntese direito ao quadrado menos 0 igual a 3

Gabarito: Alternativa: c) 3


a) 1
b) 2
c) 6
d) 36

Resolução

Como a operação entre as duas raízes é a multiplicação, podemos escrever a expressão em um único radical, ou seja:

A igual a raiz quadrada de parêntese esquerdo raiz quadrada de 6 menos 2 parêntese direito. abre parênteses 2 mais raiz quadrada de 6 fecha parênteses fim da raiz

Agora, vamos elevar o A ao quadrado:

A ao quadrado igual a abre parênteses raiz quadrada de abre parênteses raiz quadrada de 6 menos 2 fecha parênteses. abre parênteses 2 mais raiz quadrada de 6 fecha parênteses fim da raiz fecha parênteses ao quadrado

Como o índice da raiz é 2 (raiz quadrada) e está elevado ao quadrado, podemos retirar a raiz. Assim:

A ao quadrado igual a abre parênteses raiz quadrada de 6 menos 2 fecha parênteses. abre parênteses 2 mais raiz quadrada de 6 fecha parênteses

Para multiplicar, usaremos a propriedade distributiva da multiplicação:

A ao quadrado igual a 2 raiz quadrada de 6 mais raiz quadrada de 6.6 fim da raiz menos 4 menos 2 raiz quadrada de 6 A ao quadrado igual a riscado diagonal para cima sobre 2 raiz quadrada de 6 fim do riscado mais 6 menos 4 riscado diagonal para cima sobre menos 2 raiz quadrada de 6 fim do riscado A ao quadrado igual a 2

Gabarito: Alternativa: b) 2


a) 1 – 2raiz quadrada de 3
b) 6 + 3raiz quadrada de 3
c) 2 – raiz quadrada de 3
d) 4 + 3raiz quadrada de 3
e) 3 + raiz quadrada de 3

Resolução

Sendo as frações proporcionais, temos a seguinte igualdade:

y sobre 4 igual a numerador 3 sobre denominador 6 menos 2 raiz quadrada de 3 fim da fração

Passando o 4 para o outro lado multiplicando, encontramos:

y igual a numerador 4.3 sobre denominador 6 menos 2 raiz quadrada de 3 fim da fração y igual a numerador 12 sobre denominador 6 menos 2 raiz quadrada de 3 fim da fração

Simplificando todos os termos por 2, temos:

y igual a numerador 6 sobre denominador 3 menos raiz quadrada de 3 fim da fração

Agora, vamos racionalizar o denominador, multiplicando em cima e embaixo pelo conjugado de abre parênteses 3 menos raiz quadrada de 3 fecha parênteses:

y igual a numerador 6 sobre denominador abre parênteses 3 menos raiz quadrada de 3 fecha parênteses fim da fração. numerador abre parênteses 3 mais raiz quadrada de 3 fecha parênteses sobre denominador abre parênteses 3 mais raiz quadrada de 3 fecha parênteses fim da fração

y igual a numerador 6 abre parênteses 3 mais raiz quadrada de 3 fecha parênteses sobre denominador 9 mais 3 raiz quadrada de 3 menos 3 raiz quadrada de 3 menos 3 fim da fração y igual a numerador diagonal para cima risco 6 abre parênteses 3 mais raiz quadrada de 3 fecha parênteses sobre denominador diagonal para cima risco 6 fim da fração y igual a 3 mais raiz quadrada de 3

Gabarito: Alternativa: e) y igual a 3 mais raiz quadrada de 3


raiz quadrada de numerador abre parênteses 1 menos m fecha parênteses ao quadrado mais abre parênteses 2 menos m fecha parênteses ao quadrado mais abre parênteses 3 menos m fecha parênteses ao quadrado mais abre parênteses 4 menos m fecha parênteses ao quadrado mais abre parênteses 5 menos m fecha parênteses ao quadrado sobre denominador 5 fim da fração fim da raiz

a) 1,1
b) 1,2
c) 1,3
d) 1,4

Resolução

Para começar, iremos calcular a média aritmética entre os números indicados:

m igual a numerador 1 mais 2 mais 3 mais 4 mais 5 sobre denominador 5 fim da fração igual a 15 sobre 5 igual a 3

Substituindo esse valor e resolvendo as operações, encontramos:

raiz quadrada de numerador abre parênteses 1 menos 3 fecha parênteses ao quadrado mais abre parênteses 2 menos 3 fecha parênteses ao quadrado mais abre parênteses 3 menos 3 fecha parênteses ao quadrado mais abre parênteses 4 menos 3 fecha parênteses ao quadrado mais abre parênteses 5 menos 3 fecha parênteses ao quadrado sobre denominador 5 fim da fração fim da raiz seta dupla para a direita raiz quadrada de numerador abre parênteses menos 2 fecha parênteses ao quadrado mais abre parênteses menos 1 fecha parênteses ao quadrado mais 0 ao quadrado mais abre parênteses mais 1 fecha parênteses ao quadrado mais abre parênteses mais 2 fecha parênteses ao quadrado sobre denominador 5 fim da fração fim da raiz seta dupla para a direita raiz quadrada de numerador 4 mais 1 mais 1 mais 4 sobre denominador 5 fim da fração fim da raiz igual a raiz quadrada de 10 sobre 5 fim da raiz igual a raiz quadrada de 2 aproximadamente igual 1 vírgula 4

Gabarito: Alternativa: d) 1,4


a) 1,98.
b) 0,96.
c) 3,96.
d) 0,48.
e) 0,25.

Resolução

Para encontrar o valor da expressão, iremos racionalizar o denominador, multiplicando pelo conjugado. Assim:

numerador 1 sobre denominador parêntese esquerdo raiz quadrada de 5 mais raiz quadrada de 3 parêntese direito fim da fração. numerador parêntese esquerdo raiz quadrada de 5 menos raiz quadrada de 3 parêntese direito sobre denominador parêntese esquerdo raiz quadrada de 5 menos raiz quadrada de 3 parêntese direito fim da fração

Resolvendo a multiplicação:

numerador raiz quadrada de 5 menos raiz quadrada de 3 sobre denominador 5 menos 3 fim da fração igual a numerador raiz quadrada de 5 começar estilo mostrar menos fim do estilo começar estilo mostrar raiz quadrada de 3 fim do estilo sobre denominador 2 fim da fração

Substituindo os valores da raízes pelos valores informados no enunciado do problema, temos:

numerador 2 vírgula 23 menos 1 vírgula 73 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador 0 vírgula 5 sobre denominador 2 fim da fração igual a 0 vírgula 25

Gabarito: Alternativa: e) 0,25


a) 2700
b) 2800
c) 2900
d) 3000

Resolução

Primeiro, vamos escrever 0,75 na forma de fração irredutível:

0 vírgula 75 igual a 75 sobre 100 igual a 3 sobre 4

Iremos chamar de x o número procurado e escrever a seguinte equação:

raiz quadrada de 3 sobre 4. x fim da raiz igual a 45

Elevando ao quadrado ambos os membros da equação, temos:

abre parênteses raiz quadrada de 3 sobre 4. x fim da raiz fecha parênteses ao quadrado igual a 45 ao quadrado 3 sobre 4. x igual a 2025 x igual a numerador 2025.4 sobre denominador 3 fim da fração x igual a 8100 sobre 3 igual a 2700

Gabarito: Alternativa: a) 2700


Questão 8 (EPCAR 2015) O valor da soma S igual a raiz quadrada de 4 mais numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 2 mais 1 fim da fração mais numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 3 mais raiz quadrada de 2 fim da fração mais numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 4 mais raiz quadrada de 3 fim da fração mais... mais numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 196 mais raiz quadrada de 195 fim da fração é um número:

a) natural menor que 10
b) natural maior que 10
c) racional não inteiro.
d) irracional.

Resolução

Vamos começar racionalizando cada parcela da soma. Para isso, iremos multiplicar o numerador e o denominador das frações pelo conjugado do denominador, conforme indicado abaixo:

começar estilo tamanho matemático 12px S igual a raiz quadrada de 4 mais numerador 1 sobre denominador parêntese esquerdo raiz quadrada de 2 mais 1 parêntese direito fim da fração. numerador parêntese esquerdo raiz quadrada de 2 menos 1 parêntese direito sobre denominador parêntese esquerdo raiz quadrada de 2 menos 1 parêntese direito fim da fração mais numerador 1 sobre denominador parêntese esquerdo raiz quadrada de 3 mais raiz quadrada de 2 parêntese direito fim da fração. numerador parêntese esquerdo raiz quadrada de 3 menos raiz quadrada de 2 parêntese direito sobre denominador parêntese esquerdo raiz quadrada de 3 menos raiz quadrada de 2 parêntese direito fim da fração mais numerador 1 sobre denominador parêntese esquerdo raiz quadrada de 4 mais raiz quadrada de 3 parêntese direito fim da fração. numerador parêntese esquerdo raiz quadrada de 4 menos raiz quadrada de 3 parêntese direito sobre denominador parêntese esquerdo raiz quadrada de 4 menos raiz quadrada de 3 parêntese direito fim da fração mais... mais numerador 1 sobre denominador parêntese esquerdo raiz quadrada de 196 mais raiz quadrada de 195 parêntese direito fim da fração. numerador parêntese esquerdo raiz quadrada de 196 menos raiz quadrada de 195 parêntese direito sobre denominador parêntese esquerdo raiz quadrada de 196 menos raiz quadrada de 195 parêntese direito fim da fração fim do estilo

Para efetuar a multiplicação dos denominadores, podemos aplicar o produto notável da soma pela diferença de dois termos.

S igual a 2 mais numerador raiz quadrada de 2 menos 1 sobre denominador 2 menos 1 fim da fração mais numerador raiz quadrada de 3 menos raiz quadrada de 2 sobre denominador 3 menos 2 fim da fração mais numerador raiz quadrada de 4 menos raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 menos 3 fim da fração mais... mais numerador raiz quadrada de 196 menos raiz quadrada de 195 sobre denominador 196 menos 195 fim da fração S igual a 2 mais riscado diagonal para cima sobre raiz quadrada de 2 fim do riscado menos 1 mais riscado diagonal para cima sobre raiz quadrada de 3 fim do riscado menos riscado diagonal para cima sobre raiz quadrada de 2 fim do riscado mais riscado diagonal para cima sobre riscado diagonal para cima sobre raiz quadrada de 4 fim do riscado fim do riscado menos riscado diagonal para cima sobre raiz quadrada de 3 fim do riscado mais... mais raiz quadrada de 196 menos riscado diagonal para cima sobre raiz quadrada de 195 fim do riscado

S = 2 – 1 + 14 = 15

Gabarito: Alternativa: b) natural maior que 10

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (No Ratings Yet)
Loading...
%d blogueiros gostam disto: